İki noktanın koordinatlarından uzaklığı, doğru eğimini ve orta noktayı bulun.
Gerekli değerleri ve varsa hesaplama türünü seçin.
Açıklama
Koordinatların birimini aynı tutun. Noktalar aynı düşey doğru üzerindeyse eğim tanımsızdır; uzaklık yine hesaplanır.
Koordinat düzleminde her nokta yatay x ve dikey y değeriyle belirtilir. A(x₁,y₁) ile B(x₂,y₂) arasındaki düz çizgi uzaklığı için iki eksendeki fark ayrı ayrı bulunur. Bu farklar bir dik üçgenin kenarları gibi düşünülebilir; uzaklık o üçgenin hipotenüsüdür.
Aynı koordinatlar doğru eğimini ve orta noktayı da verir. Eğim, B'ye giderken y'nin x'e göre ne kadar değiştiğini anlatır: pozitifse doğru yükselir, negatifse alçalır. X farkı sıfır olan düşey doğrunun eğimi tanımsızdır. İki nokta çakışıyorsa aralarından tek bir doğru belirlenemez.
Uzaklık her zaman negatif olmayan bir uzunluktur; eğim ise pozitif, negatif, sıfır veya tanımsız olabilir. Bu iki sonuç farklı soruları cevaplar. Haritada iki işaret arasındaki kuş uçuşu mesafe uzaklığa benzer; güzergâhın yükselişini anlamak için eğime bakarsınız. Yol gerçek haritada kıvrılıyorsa düz çizgi uzaklığı yol uzunluğu yerine kullanamazsınız.
Koordinatlarda eksi işaretleri sık hata doğurur. A(−2,1) ile B(1,5) için yatay fark 1−(−2)=3, dikey fark 5−1=4 olur. Her iki farkın karesi alınmadan önce doğru çıkarma işlemi yapılmalıdır. İki noktayı ters sırayla girmek farkların işaretini değiştirir ama uzaklığı, orta noktayı ve eğimi değiştirmez.
Formül
Δx=x₂−x₁ ve Δy=y₂−y₁ hesaplanır. Uzaklık √(Δx²+Δy²), eğim Δy/Δx, orta nokta ((x₁+x₂)/2; (y₁+y₂)/2) olur. Δx=0 iken eğim için bölme yapılmaz; uzaklık yine hesaplanır.
d=√[(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²]
m=(y₂−y₁)/(x₂−x₁)
Örnek
A(0,0) ve B(3,4) için yatay fark 3, dikey fark 4'tür. Uzaklık √(3²+4²)=5 birim, eğim 4/3 ve orta nokta (1,5; 2) bulunur. Noktaların yerini değiştirirseniz uzaklık ve eğim değişmez; farkların ikisi de işaret değiştirir.
A(2,1) ve B(2,5) için Δx=0, Δy=4 olur. Uzaklık √(0²+4²)=4 birimdir; eğim 4/0 olduğu için tanımsızdır. Orta nokta (2; 3) olarak bulunur.
Bilgi
Harita veya çizim koordinatlarında ölçek birimini ayrıca hesaba katın. (x₁,y₁) ve (x₂,y₂) yer değiştirirse uzaklık ile orta nokta aynı kalır; eğim de aynı çıkar. Aynı x değerinde eğim sonsuz değil, tanımsızdır.
Harita veya CAD çiziminde eksenler farklı ölçeklerdeyse önce koordinatları aynı ölçeğe getirin.
Düşey doğru için “sonsuz eğim” yazmak yerine tanımsız demek matematiksel olarak doğrudur.
Yatay doğruda Δy=0 olduğu için eğim sıfırdır; bu durum düşey doğruyla karıştırılmamalıdır.
Karşılaştırma
| Durum | Koşul | Yorum |
|---|---|---|
| Pozitif eğim | Δx ve Δy aynı işaretli | Sağa doğru yükselir |
| Negatif eğim | Δx ve Δy zıt işaretli | Sağa doğru alçalır |
| Sıfır eğim | Δy=0, Δx≠0 | Yatay doğru |
| Tanımsız eğim | Δx=0 | Düşey doğru veya çakışık noktalar |
Hesaplama yöntemi, giriş seçenekleri ve sonuçları hakkında kısa yanıtlar.
x değerleri eşitse payda sıfır olur; eğim tanımsızdır.
Uzaklık sıfırdır; bu durumda eğim de tanımsızdır.
Yatay ve dikey farkların oluşturduğu dik üçgende Pisagor teoremi uygulanır.
Uzaklık, eğim ve orta nokta değişmez; yalnız Δx ve Δy farklarının işareti ters döner.
İki noktanın y değeri eşitse doğru yataydır ve eğim sıfırdır.
Uzaklık sıfırdır; eğim tanımsızdır ve tek bir doğru belirlenemez.
Aynı kategoride yer alan diğer araçları inceleyin.
